Вычисление среднего значения населения: центральная предельная теорема

Представьте, что вам дали образцы данных о преступности, чтобы рассчитать уровень преступности в стране. Интуиция может подсказать, что средней преступности населения можно достичь с помощью выборочных средств, но это не так просто. Центральная предельная теорема — подходящий способ достичь этого.

Согласно центральной предельной теореме распределение выборочных средних приближается к нормальному распределению по мере увеличения размера выборки, независимо от типа распределения населения. Важным замечанием здесь является то, что для применения этой теоремы необходимо как минимум 30–50 выборок, так что для рассмотрения нормального распределения их достаточно.

Для расчета уровня преступности в стране предоставляются следующие данные:

Выборочное среднее значение x̄ = 45

Стандартное отклонение выборки с = 4,3

Размер выборки n = 49

Уровень достоверности = 95%

Зная уровень достоверности, можно рассчитать Z-значение (координата x нормального графика, связанная с площадью, равной уровню достоверности (в данном случае 0,95)). Его можно рассчитать, обратившись к z-таблице. Поскольку это не является предметом этой статьи, здесь приведены наиболее распространенные уровни достоверности и их Z-значения:

90%: 1.645

95%: 1.960

99%: 2.576

Поскольку нормальное распределение является непрерывным распределением вероятностей, необходимо рассчитать интервалы (CI), поэтому следующая формула предоставит интервалы:

CI = x̄ ± Z s/√n

Низкий CI = x̄ -Z*s/√n

= 45–1.96*4.3/7 =32,96

Высокий CI = x̄ +Z s/√n

= 45+1.96*4.3/7=57,04

С достоверностью 95% средний уровень преступности населения составляет от 32,96 до 57,04.