Упрощать
Подсказка: это целое число!
Я нашел эту проблему на миниатюре YouTube. Я еще не смотрел видео.
Задача состоит в том, чтобы показать, что приведенное ниже выражение является целым числом:
Попробуйте сами. Мое решение ниже. Можете ли вы найти более плавный путь?
Мое решение
Мы имеем дело с полем расширения. Наше поле содержит элементы формы:
где a и b - рациональные числа.
Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить числа в нашем поле расширения. Результат: больше чисел в том же поле.
Кубический корень одного из этих чисел также будет в поле:
(Вы можете привыкнуть к такому обращению с комплексными числами. Мы ожидаем, что кубический корень комплексного числа будет другим комплексным числом. В этом случае число внутри квадратного корня является отрицательным.)
Нам нужно найти a и b такие, что:
Разверните вправо согласно биномиальной теореме.
Упростите справа.
Отделите рациональные биты от квадратного корня:
Возьмите последнюю строку уравнения 7. Умножьте обе стороны на 2.
Объедините первую строку уравнения 7 с уравнением 8.
Считайте это кубическим многочленом от a, где b - это просто число. Мы рассчитываем на рациональность как a, так и b. Теорема о рациональном корне указывает нам на факторы последнего члена: ± 2, ± 5, ± b .
Подставляя b вместо a, мы обнаруживаем, что это действительно фактор.
Таким образом, a = b.
Примените это открытие к уравнению 7, и мы находим:
У нас есть первый кубический корень.
Практически идентичное упражнение дает нам второй кубический корень.
(Сделайте паузу. Кубический корень сопряжения является сопряженным кубическим корнем. Будет ли так всегда?)
Теперь мы можем связать все это вместе:
Все выражение упрощается до 1.
Ваш дядя Боба!
