Умножение векторов - ОСНОВНОЙ навык решения
Matrices multiplication.
ПЕРВОЕ, ЧТО СДЕЛАТЬ С VECTOR MULTIPLICATION ИЛИ MATRIX MULTIPLICATION, - ЗАБЫТЬ ВСЕ О ARITHMETIC MULTIPLICATION !!
В противном случае ВЫ ЗАБУДЕТЕ В БЕСКОНЕЧНУЮ ЗАБОТУ!
Просто чтобы знать, умножение векторов или матриц, AREN’T действительно умножение, но выглядит так. Вы можете рассматривать их как операции по получению ЧТО-ТО.
Для векторов multiplication есть две операции:
Dot product: выражается какV₁ · V₂, названное в честь символа точки. Он предназначен для полученияProduct of two magnitudes.Cross product: выражается какV₁ × V₂, названное в честь символа креста. Он предназначен для полученияnew vector.
cross productочень, очень ограничен в использовании и НЕ так часто используется, какdot product. Так что не тратьте на это время, если вы не используете это определенным образом.
Boosting
ЭТО ОЧЕНЬ ОСНОВНОЙ СМЫСЛ СОЗДАНИЯ ВЕКТОРОВ ИЛИ МАТРИЦ.
Умножение больше не просто Repeat counting in Arithmetic.
Уже не 4×3 = 4+4+4!
Это скорее Growth, или расширение возможностей, или усиление.
Мы бы сказали we tripled 4, или сказали number 4 grow with speed of 3, или сказали number 4 grows with a boosting of 3.
Что бы вы ни сказали, вы получите идея.
Умножение - это процесс double, triple, quadruple ....
ПОМНИТЕ: ЗАБЫВАЙТЕ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ УМНОЖЕНИИ, ВСЕГДА СЧИТАЙТЕ МНОЖИТЕЛЬНОСТЬ УЛУЧШЕНИЯ.
Dot product
ПОМНИТЕ: ТОЧЕЧНЫЙ ПРОДУКТ НЕ ДАЕТ ВАМ ВЕКТОР, А ТОЛЬКО ЧИСЛО, СКАЛЯР, ПРОДУКТ ДВУХ ВЕЛИЧИН.
Цель:
НЕ получить новый вектор и НЕ дляReduce dimension,
его единственная цель ЯВЛЯЕТСЯ , чтобы получить количество, величину, число!
Для интуитивно понятного видео обратитесь к Академии физики Хана: скалярное произведение.
Для более подробной информации: Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
Математика - это развлечение: скалярное произведение.
3Blue1Brown: Точечные произведения и двойственность | Сущность линейной алгебры
Understand Dot product in business
Обратитесь к _Intro to linear algebra by Gilbert Strang: 1.2_.
Understand Dot product in physics
Гораздо разумнее
dot productмыслить физикой, чем математически алгебраически.
Просто подумайте, Two forces 'a & b' - это pulling коробка.
Итак, сколько энергии он потратил на direction of a, или сколько на direction of b?
Vectors on same direction
Давайте упростим задачу, прежде чем копаться:
предположим, что угла нет, Two forces 'a и b' pulling одинаково, в одном направлении,
так сколько энергии это будет тянуть?
Что ж, сила a & b работает вместе, это процесс Boosting энергии!
Это больше не СЛОЖЕНИЕ, это BOOSTING!
Допустим, сила a имеет 3 units мощность, b 6 units мощность.
Итак, каждая 1 unit мощность a тянет, b будет тянуть 2 units мощность.
Тогда это имеет смысл:
Общая мощность, тянущая вещь, будет 3 · 6 = 18 units
Vectors on different direction
Итак, Two forces НЕ ДЕЙСТВУЕТ больше тянуть коробку в одном направлении, сколько энергии он потянул на direction of a, или сколько на direction of b?
Давайте подумаем о том, сколько энергии он тянет в направлении b.
Поскольку a тянет немного неправильно, поэтому мощность a НЕ НА 100% работает в направлении b .
Сколько энергии осталось?
Это зависит от угла.
Чтобы рассчитать, сколько осталось энергии, мы используем |a| × cos(θ),
и получили ПРОЕКЦИЯ, или отражение, или тень a на b!
Потом это снова стало как на этой картинке:
Как это потрясающе!
И теперь мы можем увеличить мощность на b: |b| × |a|×cosθ
Ways of calculating dot product
Есть два способа вычислить скалярное произведение (названия я придумал):
- Усиление тени:
- Усиление топоров:
Результат двух способов - ОДИНАКОВ.
Помните: усиление не работает, если два вектора расположены перпендикулярно, а это произведение
0.
Shadow Boost
Мы отражаем один вектор на другой, а затем повышаем энергию.
Интуиция:
Axes Boost
Мы разбиваем два вектора на
X-axisиY-axis, а также на BOOST по каждой оси.
Легче запомнить формулу:
Интуиция:
Примеры:
Пример
Dot product & Symmetry
Точечный продукт имеет отношение к симметрии.
-
