Часть I. Что такое теория множеств и почему она актуальна сегодня?
Идеологически концепция бесконечности далека от средней математической терминологии - никакая другая тема не выходит за пределы круга математики так, чтобы ее можно было перевести из практического аналитического инструмента в феномен мифической известности. Взаимодействуя с такими культурными темами, как религия и философия, понятие бесконечности несет в себе особую ауру божественности.
Когда-то давно во всех академических дисциплинах считалось, что существует единственная бесконечность.
Затем, в 1874 году, относительно малоизвестный математик развязал консорциум новаторских наблюдений и революционных вопросов, направленных на это мирское, глубоко укоренившееся убеждение. Некий Георг Кантор в своей теперь уже легендарной публикации Об одном свойстве набора всех действительных алгебраических чисел доказал, что набор действительных чисел более многочислен, чем набор действительных алгебраических чисел. числа. Это впервые показало, что существует бесконечное множество множеств разных размеров (не волнуйтесь - мы вскоре подробно рассмотрим его статью для уточнения).
Между 1874 и 1897 годами Кантор яростно публиковал публикацию за публикацией, превращая свою теорию абстрактных множеств в процветающую дисциплину. Однако он был встречен постоянным сопротивлением и критикой; действительно, многие приверженцы дисциплины считали, что его теории вторгаются в сферу деятельности философов и нарушают принципы религии.
Однако как только начали находить применение анализу, отношение изменилось, и его идеи и результаты получили признание. К 1900-м годам его наблюдения, теории и публикации привели к признанию современной теории множеств новой, совершенно самостоятельной области математики:
Теория множеств - это математическая теория четко определенных коллекций, называемых наборами, отдельных объектов, которые называются членами или элементами набора.
Сколько чисел от 0 до 1?
Оригинальная публикация Кантора, состоящая из четырех с половиной страниц, устанавливает планку для демонстрации компактного блеска. Он разделен на два разных доказательства, которые вместе завершаются признанием по крайней мере двух уникальных типов бесконечности.
Первая часть теории исследует набор реальных, алгебраических чисел и устанавливает, что это счетное бесконечное множество. Не заблудитесь, счетный не обязательно означает счет строго целыми числами; в контексте теории множеств счетный означает, что набор, даже один из бесконечных элементов, может быть описан повторяющейся последовательностью, такой как упорядоченная полиномиальная функция. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел, которые могут однозначно соответствовать последовательности, как имеющие однозначное соответствие.
Короче говоря, набор или набор всех действительных алгебраических чисел может быть получен с помощью некоторой теоретической последовательности многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, набор всех действительных алгебраических чисел является множеством счетной бесконечности.
Во второй части диссертации Кантора анализируется роль реальных, комплексных чисел, также известных как трансцендентные числа. Трансцендентные числа, лучшими примерами которых являются числа пи и е, обладают тем особенным свойством, когда математически невозможно получить их с помощью полиномиальной функции - они не алгебраичны. Независимо от высоты, количества частей, градусов или коэффициентов, никакая последовательность не будет никогда считать число Пи в своем наборе счетного бесконечного множества.
Затем Кантор заявляет, что в любом закрытом интервале действительных чисел [a, b] существует как минимум по крайней мере один трансцендентное число, которое никогда не будет сосчитано в счетной бесконечности. Поскольку существует одно такое число, предполагается, что среди семейства действительных чисел существует бесконечное количество трансцендентных чисел.
Таким образом, впервые доказывается очень четкое различие между набором непрерывных потоковых бесчисленных чисел и набором счетных, последовательных чисел, таких как все действительные алгебраические числа.
Об обозначениях и операциях
Первая публикация Кантора остановилась на этом ошеломляющем подтверждении по крайней мере двух различных видов бесконечности. Из этой исходной публикации появилось множество дополнений, медленно, но неуклонно прокладывающих путь современной теории множеств.
Здесь стоит отметить интересное наблюдение: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят не столько конкретную теорему, сколько обобщенный язык, который она устанавливает. Из-за своей абстрактной природы влияние теории множеств существует за кулисами многих других разделов математики. В анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, понимание пределов и непрерывности функций в конечном итоге основывается на теории множеств. В булевой алгебре логические операции и, или и не соответствуют операциям теории множеств пересечения, объединения, & разности. И, наконец, что не менее важно, теория множеств обеспечивает основу топологии, изучения геометрических свойств и пространственных отношений.
Теперь, когда мы обладаем основополагающим пониманием истории множеств и быстрым предварительным просмотром глубины их воздействия, пришло время ознакомиться с основными обозначениями теории множеств. В следующей статье мы рассмотрим общие символы, операции, а также множество конфигураций наборов диаграмм Венна.
источники
