для двух и трех переменных

Эта статья обобщает мои заметки, основанные на концепциях и методах первой недели курса deeplearning.ai Линейная алгебра для машинного обучения и науки о данных Луиса Серрано. Кроме того, я включил другие определения и иллюстрации из других источников.

Что такое линейное уравнение?

Уравнение, переменные которого можно умножать на скаляры и/или числа, добавлять/вычитать его переменные и добавлять/вычитать к ним константы.

В математике система линейных уравнений представляет собой набор одного или нескольких линейных уравнений с одинаковыми переменными. См. уравнения ниже: (википедия)

3x + 2y - z = 1
2x - 2y + 4z = -2
-x + 1/2 y - z = 0

Система уравнений

  • Полная: сингулярная или несингулярная информационная система с единственным, непротиворечивым и независимым решением.
  • Избыточная: сингулярная система с бесконечными, согласованными и зависимыми решениями.
  • Противоречивая: сингулярная система без решения, противоречивая

На рис. 1 ниже показаны примеры трех систем для двух переменных вверху и трех переменных внизу.

Сингулярный и несингулярный

Чтобы дифференцировать особенности в уравнениях, мы можем установить константы, которые являются числами в уравнениях, которые не сопровождают переменные, равными нулю. Поскольку новые системы всегда имеют 0,00 в качестве решения, они должны проходить мимо начала координат. Если результат по-прежнему представляет собой пару пересекающихся линий/плоскостей, то это неособая система; в противном случае оно единственное.

В матрицах мы задаем коэффициенты переменных в уравнениях системы в строках и столбцах. Каждая строка представляет уравнение, а столбцы — различные переменные уравнений. Если строки линейно независимы, то матрица невырожденная. И оно сингулярно, когда хотя бы одно уравнение можно получить, используя другое уравнение в матрице, линейно зависимые строки.

Определитель

Определитель квадратной матрицы — это функция, которая отображает матрицы в действительные скаляры. Определитель равен произведению всех собственных значений матрицы. (Гудфеллоу и др., 2016 г.)

Формула определителя возвращает ноль, если матрица вырожденная, и ненулевое значение, если она невырожденная. Для двух переменных матриц произведение главной диагонали на произведение антидиагонали даст определитель. В то время как для трех переменных матриц это сложение произведений элементов диагоналей, идущих вправо, за вычетом сложения произведений элементов диагоналей, идущих влево.

NumPy

Библиотека Python NumPy поддерживает многомерные матрицы и представляет собой большой набор высокоуровневых математических функций для работы с этими матрицами.

Последнее примечание

Несмотря на то, что я уже работал в области машинного обучения и науки о данных, мне было чрезвычайно полезно освежить в памяти основы линейных уравнений. Кажется, это укрепило мое понимание различных компьютерных приложений.

Приятного обучения!