1.Числовой ранг сингулярных ядерных функций (arXiv)
Автор: Ритеш Хан, В. А. Кандаппан, Шиварам Амбикасаран
Аннотация: мы изучаем ранг подматриц, возникающих из ядерных функций, F (x, y) : Rd × Rd ⏰→ R, где x, y ∈ Rd, которые имеют особенность вдоль диагональ х = у. Такие функции ядра часто встречаются в широком диапазоне приложений, таких как задачи N тел, функции Грина, интегральные уравнения, геостатистика, кригинг, гауссовские процессы и т. д. Одна из проблем при работе с этими функциями ядра заключается в том, что соответствующая матрица, связанная с эти ядра большие и плотные, и поэтому вычислительные затраты на матричные операции высоки. В этой статье мы доказываем новые теоремы, ограничивающие числовой ранг подматриц, возникающих из этих функций ядра. При достаточно мягких предположениях мы доказываем, что ранг некоторых подматриц неполноценен с конечной точностью. Этот ранг зависит от размерности объемлющего пространства, а также от типа взаимодействия между гиперкубами, содержащими соответствующий набор частиц. Эта ранговая структура может быть использована для снижения вычислительных затрат на определенные матричные операции, такие как произведение матрицы на вектор, решение линейных систем и т. д. Мы также представляем численные результаты роста ранга некоторых подматриц в одномерных, двухмерных, трехмерных и 4D, что, что неудивительно, согласуется с теоретическими результатами.
2. Численная гомогенизация пространственных сетевых моделей (arXiv)
Автор: Фредрик Эдельвик, Морган Герц, Фредрик Хеллман, Густав Кеттиль, Аксель Малквист
Аннотация: мы представляем и анализируем методологию численной гомогенизации пространственных сетей, моделируя, например, диффузионные процессы и деформации механических структур. Цель состоит в том, чтобы построить точную грубую модель сети. Решая несвязанные задачи на локальных подграфах, мы строим подпространство малой размерности пространства решений с хорошими свойствами аппроксимации. Грубая модель сети выражается формулой Галеркина и может использоваться для моделирования с различными исходными и граничными данными при низких вычислительных затратах. Мы доказываем оптимальную сходимость предложенного метода при мягких предположениях об однородности, связности и локальности сети в грубом масштабе. Теоретические выводы подтверждены численно как для скалярной (теплопроводность), так и для векторной (структурной) моделей.
3. Обобщенный метод слабого Галеркина для уравнения Озеена (arXiv)
Автор:Вэнья Ци, Падманабхан Сешайер, Цзюньпин Ван
Аннотация: в этой работе авторы вводят обобщенный слабый метод конечных элементов Галеркина (gWG) для нестационарного уравнения Озеена. Обобщенный слабый метод Галеркина основан на новой схеме аппроксимации оператора градиента. Разработаны и проанализированы как полудискретная, так и полностью дискретная числовые схемы на их сходимость, устойчивость и оценки погрешности. Для облегчения анализа сходимости разработано обобщенное условие инф-суп. Обратная эйлерова дискретизация используется при построении полностью дискретной схемы. Оценки ошибок оптимального порядка устанавливаются математически и подтверждаются численно на некоторых эталонных примерах.
