Бывают случаи, когда нам нужно прогнозировать несколько переменных одновременно. В этих случаях традиционных методов, таких как ARIMA или Экспоненциальное сглаживание, недостаточно, поскольку они являются одномерными методами.

Векторная авторегрессия (VAR) является статистической моделью для многомерного анализа временных рядов и прогнозирования. Он используется для фиксации взаимосвязи между несколькими переменными по мере их изменения во времени. В этой статье мы обсудим, что такое VAR и как он работает для прогнозирования временных рядов.

Сравнение с моделями дополненной реальности

Модели векторной авторегрессии (VAR) расширяют возможности одномерных моделей авторегрессии (AR), позволяя им обрабатывать многомерные прогнозы с высокой эффективностью и точностью. В то время как модели AR фокусируются на прогнозировании одной переменной временного ряда, модели VAR расширяют эту концепцию, включая несколько взаимосвязанных переменных. Это расширение позволяет моделям VAR фиксировать динамические взаимодействия и механизмы обратной связи между несколькими переменными временных рядов.

В моделях VAR каждая переменная регрессируется по своим собственным лаговым значениям, а также по лаговым значениям всех других переменных в системе. Это означает, что на каждую переменную в системе влияют ее собственные прошлые значения, а также прошлые значения других переменных. В моделях AR каждая переменная подвергается регрессии только по своим собственным запаздывающим значениям. Это главное отличие, которое делает VAR очень гибкой и мощной моделью для понимания того, как различные переменные в системе взаимодействуют друг с другом во времени.

Начнем с уравнения AR(p) модели:

  • c : представляет константу или дрейф.
  • y : относится к текущему значению интересующей нас переменной (t), значению за один временной шаг до (t-1), значению за два временных шага до (t-2)…
  • ϕ : коэффициенты, которые необходимо рассчитать путем подгонки обучающих данных. Субиндексы указывают задержки.
  • p : количество коэффициентов, которые мы хотим иметь в нашей модели, что соответствует количеству учитываемых задержек.
  • εₜ : ошибка, представляющая собой белый шум.

Отсюда мы можем расширить модель AR до общей формы уравнения VAR(p) модели:

  • C : представляет вектор с константами или дрейфами
  • Y : относится к векторам с текущими значениями интересующих переменных (t), значениями за один временной шаг до (t-1), значениями за два временных шага до (t-2)…
  • Φ : матрицы, содержащие коэффициенты, которые необходимо рассчитать путем подгонки обучающих данных. Субиндексы указывают задержки.
  • p : количество коэффициентов, которые мы хотим иметь в нашей модели, что соответствует количеству учитываемых задержек.
  • Eₜ : вектор, содержащий ошибки

Мы можем развить предыдущее уравнение VAR(p), чтобы увидеть, что находится внутри каждой векторной переменной:

Давайте покажем, как это уравнение можно записать аналогично модели AR, получив каждое из уравнений, соответствующих модели VAR (1), ссылаясь на модель VAR только с 1 запаздыванием. Для простоты будем рассматривать только 2 переменные:

Мы видим, что для каждой переменной учитываются не только ее собственные прошлые значения (лаги), но и прошлые значения других переменных. Другими словами, анализ включает лаговые значения как рассматриваемой переменной, так и других переменных.

ВАРМА модели

Модели AR можно расширить до моделей ARMA, чтобы включить элемент скользящего среднего. Это также возможно с моделями VAR, которые становятся моделями VARMA, в которые мы включаем количество q предыдущих значений ошибок, которые следует учитывать при прогнозировании. Вы можете увидеть соответствующее векторное уравнение ниже:

Однако модели VARMA не так распространены, как модели VAR. Вот основные причины, по которым:

  • Простота: модели VAR относительно проще для понимания и реализации по сравнению с моделями VARMA, поскольку они не включают запаздывающие ошибки системы.
  • Эффективность вычислений: модели VAR менее требовательны к вычислительным ресурсам по сравнению с моделями VARMA. В моделях VAR параметры оцениваются с использованием методов наименьших квадратов или методов максимального правдоподобия, которые относительно просты и эффективны. Напротив, оценка моделей VARMA включает более сложные методы, такие как оценка максимального правдоподобия, которые могут быть дорогостоящими в вычислительном отношении и занимать много времени.
  • Требования к данным. Для оценки моделей VARMA обычно требуется больше данных, и она может быть более чувствительна к качеству данных и допущению о стационарности.
  • Интерпретируемость: модели VAR обеспечивают четкую интерпретацию взаимосвязей между переменными в системе, поскольку текущее значение каждой переменной выражается только как функция ее запаздывающих значений и запаздывающих значений других переменных. Будучи более гибкими, модели VARMA могут быть более сложными для интерпретации из-за дополнительного компонента скользящего среднего.

Несмотря на эти причины, модели VARMA по-прежнему полезны и необходимы в определенных ситуациях. Например, когда в данных есть признаки значительных компонентов скользящего среднего или когда необходимо учитывать нерегулярные закономерности, остаточную корреляцию или кластеризацию волатильности в данных. Дополнительный компонент MA помогает фиксировать краткосрочные зависимости и может обеспечить лучшее соответствие данным в случаях, когда одного компонента AR может быть недостаточно.

Приложения

Его можно использовать как для прогнозирования будущих результатов и принятия обоснованных решений (прогнозирование), так и для понимания причинно-следственных связей между переменными (причинно-следственный анализ). >).

Модели VAR широко используются для прогнозирования временных рядов в финансах, но это не единственное их применение, они также используются во многих других областях. Некоторые из их основных приложений включают в себя:

  1. Макроэкономическое прогнозирование. Модели VAR обычно используются в макроэкономическом анализе для прогнозирования ключевых экономических переменных, таких как рост ВВП, уровень инфляции, процентные ставки, обменные курсы и уровень безработицы. Они могут учитывать взаимозависимости между несколькими экономическими переменными, фиксировать сложные взаимодействия и давать точные прогнозы.
  2. Анализ финансового рынка: модели VAR используются в анализе финансового рынка для прогнозирования цен на активы, волатильности и других финансовых переменных. Они могут фиксировать динамические отношения между различными финансовыми временными рядами, чтобы делать прогнозы будущих движений рынка и эффективно управлять рисками.
  3. Прогнозирование спроса на энергию и цен: модели VAR используются для прогнозирования спроса на энергию и цен в энергетическом секторе. Они могут учитывать множество факторов, влияющих на спрос и цены на энергию, например, погодные условия, экономические показатели и динамику спроса и предложения. Эти модели помогают энергетическим компаниям и политикам принимать обоснованные решения о производстве, распределении и ценообразовании.
  4. Маркетинг и прогнозирование продаж. Модели VAR можно использовать в маркетинге и прогнозировании продаж для прогнозирования поведения потребителей и моделей спроса. Они учитывают несколько маркетинговых и экономических переменных, таких как расходы на рекламу, настроения потребителей и макроэкономические показатели, чтобы получить представление о будущих объемах продаж, доле рынка и предпочтениях клиентов.
  5. Цепочки поставок и управление запасами: модели VAR находят применение в управлении цепочками поставок для прогнозирования моделей спроса, оптимизации уровня запасов и планирования производственных графиков. Анализируя взаимосвязь между различными переменными в цепочке поставок, такими как продажи, уровень запасов и время выполнения заказов, они могут повысить эффективность работы и снизить затраты.
  6. Прогнозирование окружающей среды и климата. Модели VAR используются в прогнозировании окружающей среды и климата для прогнозирования таких переменных, как температура, осадки, качество воздуха и уровни загрязнения. Они могут помочь в принятии обоснованных решений в отношении рационального использования окружающей среды, распределения ресурсов и смягчения последствий изменения климата.

Модели VAR предлагают гибкую основу для прогнозирования временных рядов, которая учитывает взаимозависимости между несколькими переменными, что делает их подходящими для различных приложений.

Ключевым преимуществом моделей VAR является их способность фиксировать совместное поведение нескольких переменных, обеспечивая более полные прогнозы по сравнению с одномерными моделями AR.

Однако дополнительные возможности моделей VAR добавляют сложности, влияя на интерпретируемость и оценку параметров, что требует больших вычислительных ресурсов.

В заключение, переход от одномерных моделей AR к многомерным моделям VAR является значительным шагом вперед в анализе временных рядов. Модели VAR, учитывающие взаимодействия и зависимости между переменными, предлагают мощный инструмент для понимания и прогнозирования сложных систем в различных областях, таких как экономика, финансы и эпидемиология.