Отобразите мои заполненные значения массива в списке и, при необходимости, удалите их.

Во-первых, будьте осторожны с тем, где вы ставите фигурную скобку, чтобы убедиться, что код может быть скомпилирован.

public partial class Form1 : Form    
{
    string[] Brands = new string[10];
    int brandNo;} //<- off-placed

Во-вторых, поскольку вы начинаете с создания массива в качестве своего DataSource (и не используете Items.Add или Items.AddRange для своего listBoxMotoren, может быть последовательным, если вы делаете это при добавлении или удалении вашего элемента в listBoxMotoren.

private void buttonAddbrand_Click(object sender, EventArgs e) {
    if (brandNo >= 10)
        return; //cannot add more brand

    Brands[brandNo++] = textBoxMerk.Text;
    listBoxMotoren.DataSource = null; //the cheapest and dirtiest trick to do this
    listBoxMotoren.DataSource = Brands; //Maintaining the style, use `DataSource` to accommodate new data
}

Наконец, если вы хотите удалить элемент бренда по своему желанию, вам может понадобиться еще один Control в вашем Form1 в качестве входных данных для того, какой элемент бренда вы хотите удалить при необходимости. Но имейте в виду, что это может «разрушить» последовательность ваших элементов, и поэтому вам может потребоваться «повторно упорядочить» ваш элемент.

Теперь предположим, что вы используете NumericUpDown для удаления и инициируете удаление с помощью buttonDeletebrand, тогда вы должны сделать что-то вроде этого

private void buttonDeletebrand_Click(object sender, EventArgs e) {
    int indexToDelete = (int)numericUpDownMotorenNumberDeleted.Value; //note the casting to (int)
    if (indexToDelete < 0 || indexToDelete >= brandNo || brandNo <= 0) //can only delete index no [0] to [brandNo-1], and if the brand no > 0
        return; //invalid index
    for (int i = indexToDelete; i < brandNo - 1; ++i)
        Brands[indexToDelete] = Brands[indexToDelete + 1]; //resequencing
    Brands[brandNo - 1] = string.Empty; //removes the last element after resequencing
    listBoxMotoren.DataSource = null; //remember the cheapest and dirtiest trick?
    listBoxMotoren.DataSource = Brands;
    --brandNo; //reduce the brandNo by 1
}

В общем, вам нужно все вместе:

public partial class Form1 : Form {
    string[] Brands = new string[10];
    int brandNo;
    public Form1() {
        InitializeComponent();
        Brands[0] = "Yamaha";
        Brands[1] = "Suzuki";
        Brands[2] = "Harley";
        Brands[3] = "Kawasaki";
        brandNo = 4;
        listBoxMotoren.DataSource = Brands;
    }

    private void buttonAddbrand_Click(object sender, EventArgs e) {
        if (brandNo >= 10)
            return;

        Brands[brandNo++] = textBoxMerk.Text;
        listBoxMotoren.DataSource = null;
        listBoxMotoren.DataSource = Brands;
    }

    private void buttonDeletebrand_Click(object sender, EventArgs e) {
        int indexToDelete = (int)numericUpDownMotorenNumberDeleted.Value;
        if (indexToDelete < 0 || indexToDelete >= brandNo || brandNo <= 0)
            return;
        for (int i = indexToDelete; i < brandNo - 1; ++i)
            Brands[indexToDelete] = Brands[indexToDelete + 1];
        Brands[brandNo - 1] = string.Empty;
        listBoxMotoren.DataSource = null;
        listBoxMotoren.DataSource = Brands;
        --brandNo;
    }
}

я почти уверен, что этот код даже не компилируется....

   int brandNo;} <- "}" ???

   var Merk = Brands <- ";" missing and (var Merk) not needed

блокировка этого кода, я думаю, проблема в
проверке

if (listBoxMotoren != null && listBoxMotoren.Items.Any()) 
       listBoxMotoren.Items.Clear();

и конечно

if (listBoxMotoren != null && Brands  != null)
   listBoxMotoren.Items.AddRange(Brands);

если listboxMotoren имеет значение null, форма еще не инициализирована, так как long listBoxMotoren является элементом управления формы.