1. Минимизация ранга кватернионного тензора с разреженной регуляризацией в преобразованной области для завершения кватернионного тензора (arXiv)
Автор: Цзифей Мяо, Кит Ян Коу, Лицяо Ян, Дун Ченг
Аннотация: Ранг тензорного поезда (TT-ранг) достиг многообещающих результатов в дополнении тензора благодаря своей способности фиксировать глобальный низкий ранг тензоров более высокого порядка (›3). С другой стороны, в последнее время кватернионы оказались очень подходящей основой для кодирования цветных пикселей и показали выдающуюся производительность в различных задачах обработки цветных изображений. В этой статье представлено разложение кватернионного тензорного поезда (QTT), и на его основе естественным образом определяется кватернионный TT-ранг (QTT-ранг), который является обобщением своих аналогов в области действительных чисел. Кроме того, для использования локального разреженного априорного значения тензора кватернионов определена общая и гибкая структура преобразования. Объединяя как глобальные низкоранговые, так и локальные разреженные априорные значения кватернионного тензора, мы предлагаем новую модель завершения кватернионного тензора, то есть минимизацию QTT-ранга с разреженной регуляризацией в преобразованной области. В частности, мы используем кватернионно-взвешенную ядерную норму (QWNN) канонических разворачивающихся кватернионных матриц режима n для характеристики глобального низкого QTT-ранга и l1-норму кватернионного тензора в преобразованной области для характеристики локального разреженного свойства. Кроме того, чтобы минимизация QTT-ранга позволяла обрабатывать цветные изображения и лучше обрабатывать цветные видео, мы обобщаем KA, метод тензорной аугментации, на тензоры кватернионов и определяем кватернион KA (QKA), который является полезным этапом предварительной обработки для QTT-ранга на основе тензоров. проблемы с оптимизацией. Численные эксперименты с цветными изображениями и цветными видеороликами в задачах рисования свидетельствуют о преимуществах предлагаемого метода перед современными.
2.Алгоритмы и оценки для сложных и кватернионных решеток с применением к MIMO-передачи (arXiv)
Автор: Себастьян Стерн, Конг Линг, Роберт Ф. Х. Фишер
Аннотация. Решетки — популярная область математических исследований, а также в более практических областях, таких как криптология или передача с несколькими входами и выходами (MIMO). В математической теории чаще всего рассматриваются решетки над действительными числами. Однако в коммуникациях обычно представляет интерес комплекснозначная обработка. Кроме того, при использовании передачи с двойной поляризацией, а также при сочетании двух временных интервалов или частот все большее значение приобретают четырехмерные (кватернионнозначные) подходы. Следовательно, для учета этого факта в данной работе обобщаются известные решетчатые алгоритмы и связанные с ними концепции. С этой целью дается краткий обзор комплексной арифметики, включая множества целых чисел Гаусса и Эйзенштейна, и введение в кватернионнозначные числа, включая множества целых чисел Липшица и Гурвица. На этой основе получены обобщенные варианты двух важных алгоритмов: во-первых, алгоритма LLL с полиномиальным временем, приводящего к уменьшению базиса решетки за счет выполнения специального варианта алгоритма Евклида, определенного для матриц, и, во-вторых, алгоритма для вычисления последовательных минимумов — норм кратчайших независимых векторов решетки — и связанных с ней точек решетки. Устанавливаются обобщенные оценки качества конкретных результатов и оцениваются асимптотические сложности алгоритмов. Эти результаты широко сравниваются с обычной обработкой вещественных значений. Показано, что обобщенные подходы превосходят свои вещественные аналоги по сложности и/или качеству. Кроме того, изучается применение обобщенных алгоритмов к MIMO-коммуникациям, особенно в области выравнивания с помощью уменьшения решетки и выравнивания с принудительным использованием целых чисел.
3. Оптимальная спинорная селективность для кватернионных порядков (arXiv)
Автор:Цзянвэй Сюэ, Чиа-Фу Юй
Аннотация: Пусть D — кватернионная алгебра над числовым полем F, а G — произвольный род OF-порядков полного ранга в D. Пусть K — квадратичное расширение поля F, которое вкладывается в D , а B — OF-порядок в K, который может быть оптимально вложен в некоторый член G. Мы приводим необходимое и достаточное условие оптимальной спинорной селективности B для рода G, которое обобщает ранее существовавшие критерии оптимальной селективности для порядков Эйхлера как указано Аренасом, Аренасом-Кармона и Контрерасом, а также независимо Войтом. Это позволяет получить уточнение классической формулы следов для оптимальных вложений, которую мы будем называть формулой спинорных следов. Когда G — род порядков Эйхлера, мы расширяем формулу относительного проводника Маклахлана для оптимальной селективности с порядков Эйхлера бесквадратных уровней на все порядки Эйхлера.
