В этом посте я хотел бы обсудить метод Хорнера, который значительно упростил мне жизнь с устрашающими на вид многочленами. По сути, это метод, который можно использовать для довольно быстрого приближения корней многочлена. Когда у вас есть это в своем арсенале, вы можете разложить многочлены более высокой степени на множители за секунды и без каких-либо усилий.
Для объяснения этого метода я буду использовать многочлен:
F(x) = 2x⁴–20x³+70x²–100x+48
Из наших предыдущих знаний о многочленах мы знаем, что постоянный член равен произведению корней многочлена (при условии, что вы это знаете, если вы обратили внимание на болтовню вашего учителя математики).
Шаг 1) Возьмите постоянный член в полиноме и найдите его множители (как положительные, так и отрицательные). В нашем случае это 48, поэтому у нас будет ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 16, ± 24 ± 48.
Шаг 2) Запишите коэффициенты многочлена, начиная с наивысшей степени (в нашем случае 4) до самой низкой (0 - постоянный член), и поставьте 0, если какой-либо коэффициент степени отсутствует в данном многочлен (например, если многочлен имеет форму x² + 1, то коэффициент степени 1 отсутствует, поэтому мы будем иметь 1 0 1). Итак, для F (x) у нас будет что-то вроде: 2-20 70-100 48.
Шаг 3) Возьмите любой множитель 48 (предположим, мы возьмем -1) и выполните следующие действия:
Как мы видим на изображении выше, остаток (последняя запись) не равен 0 (это 240), поэтому мы можем сказать, что -1 не является корнем многочлена.
Шаг 4) Теперь возьмите следующий множитель 48 (предположим, мы берем +1) и повторите тот же процесс.
В этом случае остаток (последняя запись) оказался равным 0, поэтому мы знаем, что +1 является множителем многочлена или (x-1) делит F (x). Остальные записи в последней строке (на изображении выше): 2-18 52 48.
Эти элементы представляют собой коэффициенты многочлена
G(x) = F(x)/(x-1) = 2x³–18x²+52x+48.
Теперь повторите описанные выше шаги с G (x), чтобы найти оставшиеся корни. Сначала вы можете подумать, что использовать этот метод для факторизации многочленов - излишество, но поверьте мне, немного попрактиковавшись, вы сможете найти все корни довольно быстро по сравнению с любым другим методом.
Что касается данного многочлена (F (x)), его корни: 1, 2, 3, 4. Решите сами и сравните свой ответ, чтобы понять его.
