- Распределительно устойчивая регрессия гауссовского процесса и байесовские обратные задачи (arXiv)
Автор: Сюхуи Чжан, Хосе Бланше, Юссеф Марзук, Вьет Ань Нгуен, Свен Ван.
Аннотация: Мы изучаем устойчивую к распределению формулировку оптимизации (т. е. игру минимум-макс) для двух репрезентативных задач байесовского непараметрического оценивания: регрессии гауссовского процесса и, в более общем смысле, линейных обратных задач. Наша формулировка ищет лучший предсказатель среднеквадратической ошибки в бесконечномерном пространстве против противника, который выбирает модель наихудшего случая в шаре Вассерштейна вокруг номинальной бесконечномерной байесовской модели. Стоимость транспортировки выбирается для управления такими функциями, как степень шероховатости выборочных путей, которые злоумышленнику разрешено вводить. Мы показываем, что игра имеет четко определенное значение (т. е. имеет место сильная двойственность в том смысле, что max-min равно min-max) и что существует единственное равновесие Нэша, которое можно вычислить с помощью последовательности конечномерных приближений. Важно отметить, что наихудшее распределение само по себе является гауссовым. Мы изучаем свойства равновесия Нэша и влияние гиперпараметров с помощью ряда численных экспериментов, демонстрируя универсальность нашей моделирующей структуры.
2. Эффективные алгоритмы для байесовских обратных задач с априорными уравнениями Уиттла — Матерна (arXiv)
Автор : Харбир Антил, Арвинд К. Сайбаба
Аннотация: В этой статье рассматриваются эффективные методы решения байесовских обратных задач с априорными значениями, основанные на гауссовских случайных полях Уиттла — Матерна. Приор Уиттла — Матерна характеризуется средней функцией и ковариационным оператором, который принимается как отрицательная степень эллиптического дифференциального оператора. Этот подход является гибким в том смысле, что он может включать широкий спектр априорной информации, включая нестационарные эффекты, но в настоящее время он является вычислительно выгодным только для целых значений показателя степени. В этой статье мы выводим эффективный метод обработки всех допустимых нецелочисленных значений показателя степени. Метод сначала дискретизирует ковариационный оператор, используя конечные элементы и квадратуры, и использует предобусловленные решатели подпространства Крылова для сдвинутых линейных систем, чтобы эффективно применить результирующую ковариационную матрицу к вектору. Этот подход можно использовать для создания выборок из распределения двумя различными способами: путем решения стохастического уравнения в частных производных и с помощью усеченного разложения Карунена-Лоэва. Мы покажем, как включить это априорное представление в бесконечномерную байесовскую формулировку и покажем, как эффективно вычислить максимальную апостериорную оценку и аппроксимировать апостериорную дисперсию. Хотя основное внимание в этой статье уделяется байесовским обратным задачам, разработанные здесь методы применимы к решению систем с дробными лапласианами и гауссовскими случайными полями. Численные эксперименты демонстрируют производительность и масштабируемость решателей, а также их применимость к моделированию и обратным задачам с реальными данными в томографии и нестационарному уравнению теплопроводности.
