- Изучение диаграмм постоянства как мер радона (arXiv)
Автор: Алекс Эльчесен, Ирина Харцок, Хосе А. Переа, Татум Раск
Аннотация: Диаграммы персистентности являются общими дескрипторами топологической структуры данных, возникающих в различных задачах классификации и регрессии. Их можно обобщить до мер Радона, поддерживаемых на плоскости рождения-смерти и наделенных оптимальным расстоянием переноса. Примерами таких мер являются ожидания вероятностных распределений в пространстве диаграмм персистентности. В этой статье мы разрабатываем методы аппроксимации непрерывных функций в пространстве мер Радона, поддерживаемых на плоскости рождения-смерти, а также их использование в задачах обучения с учителем. Действительно, мы показываем, что любая непрерывная функция, определенная на компактном подмножестве пространства таких мер (например, классификатор или регрессор), может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована полиномиальными комбинациями признаков, вычисленных с использованием непрерывной функции с компактным носителем на плоскости рождения-смерти. (шаблон). Мы даем представление о структуре относительно компактных подмножеств пространства мер Радона и тестируем нашу методологию аппроксимации на различных наборах данных и задачах обучения с учителем.
2. Решения по радоновой мере задач Римана для изэнтропических уравнений Эйлера сжимаемых газов политропных газов (arXiv)
Автор: Юньцзюань Цзинь, Айфан Цюй, Хайжун Юань.
Аннотация: Решаются задачи Римана для изэнтропических сжимаемых уравнений Эйлера политропных газов в классе мер Радона, решения допускают концентрацию массы. Обнаружено, что при выполнении условия сверхсжатия энтропии: (i) существует единственное решение дельта-удара, соответствующее случаю двух сильных классических скачков Лакса; 2) при исходных данных, что классическое решение Римана содержит ударную волну и волну разрежения или два скачка, один из которых является слабым, существует бесконечно много решений, каждое из которых состоит из дельта-скачка и волны разрежения; (iii) в случае, когда классические энтропийно-слабые решения состоят только из волн разрежения, дельта-шоков не существует. Эти решения являются самоподобными. Более того, для обобщенной задачи Римана с массой, первоначально сосредоточенной в разрывной точке начальных данных, всегда существует единственный дельта-удар в течение хотя бы короткого времени. Его можно было бы продлить до глобального решения. Не все решения самоподобны из-за начальной скорости концентрированной точечной массы (частицы). Выясняется, удовлетворяют ли построенные дельта-ударные решения условию сверхсжимающей энтропии. Это первый результат по построению решений сингулярной меры сжимаемой системы Эйлера политропных газов, которая является строго гиперболической и обе характеристики которой являются существенно нелинейными. Мы также обсуждаем возможные физические интерпретации и приложения этих новых решений.
